Апейрогон

Апейрогон або нескінченнокутник (від дав.-гр. ἄπειρος — нескінченний або безмежний і дав.-гр. γωνία — кут) — узагальнення многокутника зі зліченно-нескінченним числом сторін[1].

Два апейрогони заповнюють площину, утворюючи правильне замощення з вершинною конфігурацією.

Правильний апейрогон

Правильний апейрогон має сторони рівної довжини, як і будь-який інший правильний многокутник. Його символ Шлефлі — {∞}, діаграма Коксетера — Динкіна — .

Правильний апейрогон розбиває площину на дві півплощини, утворюючи апейрогональний діедр {∞,2}. Внутрішню частину апейрогона можна визначити, вказавши напрям сторін.

Евклідові мозаїки
Правильні Однорідні
∞.∞ 2∞ 4.4.∞ 3.3.3.∞
{∞, 2}
 {2, ∞}
 t{2, ∞}
 sr{2, ∞}

Правильними апейрогонами можна вважати прямі, що складаються з ребер чотирьох однорідних мозаїк і п'яти мозаїк, двоїстих однорідним, на евклідовій площини.

3 напрямки 1 напрямок 2 напрямки

Шеститрикутна мозаїка
Трикутний паркет
Подовжена трикутна мозаїка
Квадратний паркет (кадриль)
3 напрямки 6 напрямків 1 напрямок 4 напрямку

Тетрамозаїка
Розділена трикутна мозаїка
Розділена шестикутна мозаїка
Призматична п'ятикутна мозаїка
Розділена квадратна мозаїка

Неправильні апейрогони

Ізогональний апейрогон має вершини одного типу і сторони двох типів (довжин), що чергуються.

Квазіправильний апейрогон — ізогональний апейрогон з однаковими довжинами сторін.

Ізотоксальний апейрогон є двоїстим відносно ізогонального. Він має один тип ребер і два типи вершин і геометрично ідентичний правильному апейрогону, що можна показати почерговим розфарбуванням вершин у два кольори.

Правильний … …
Квазіправильний … …
Ізогональний … …
Ізотоксальний … …

Апейрогони на гіперболічній площині
Апейрогон та описаний навколо нього орицикл.

Правильні апейрогони на гіперболічній площині мають кривину, так само, як і многокутники зі скінченним числом сторін. Навколо апейрогона на гіперболічній площині можна описати орицикл або еквідистанту (гіперцикл), аналогічно тому, як навколо многокутника зі скінченним числом сторін можна описати коло.

Однорідні мозаїки з апейрогонів
3 4 5

{∞,3}

{∞,4}

{∞,5}

Однорідні мозаїки з апейрогонів (продовження)
6 7 8 … ∞

{∞,6}

{∞,7}

{∞,8}

{∞,∞}
Правильні та однорідні мозаїки з апейрогонів
{∞, 3} tr{∞, 3} tr{12i, 3}

Правильний:

{∞}
Квазіправильний: t{∞}
Квазіправильний: t{12i}

Примітки
  1. >Coxeter, Regular polytopes, p.45

Література
  • H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — New York : Dover Publications, 1973. — С. 121–122. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Grünbaum, B. Regular polyhedra — old and new, Aequationes Math. 16 (1977) p. 1-20
  • Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York : Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9. (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p, q}.

Посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.