Дельтаедри

Дельтаэдр — це багатогранник, всі грані якого є правильними трикутниками. Назву взято від грецької великої літери дельта (), яка має форму рівностороннього трикутника. Існує нескінченно багато дельтаедрів, але з них лише вісім опуклі, і вони мають 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 і 20 граней[1].

Найбільший строго опуклий дельтаедр є правильним ікосаедром
Зрізаний тетраедр з шестикутниками, розбитими на трикутники. Це тіло не є строго опуклим дельтаедром, оскільки розташовані в одній площині грані неприпустимі за визначенням.

Нижче перелічено числа граней, ребер і вершин для кожного з восьми дельтаедрів.

Опуклі дельтаедри

Всього існує 8 опуклих дельтаедрів[2], 3 з яких є платоновими тілами, а 5 — багатогранниками Джонсона.

У дельтаедра з 6 гранями деякі вершини мають ступінь 3, а деякі — ступінь 4. У дельтаедрів з 10, 12, 14 і 16 гранями деякі вершини мають ступінь 4, а деякі — ступінь 5. Ці п'ять неправильних дельтаедрів належать до класу правильногранних багатогранників — опуклих багатогранників з гранями у вигляді правильних багатокутників.

Не існує опуклого дельтаедра з 18 гранями[3]. Однак ікосаедр зі стягнутим ребром є прикладом октаедра, який можна зробити опуклим з 18 неправильними гранями, або з двома наборами по три рівносторонніх трикутники, що лежать в одній площині.

Правильні дельтаедри
Назва Зображення Кількість
вершин		 Кількість
ребер		 Кількість
граней		 Конфігурація
вершини		 Група симетрії
Правильний тетраедр 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
Правильний октаедр (чотирикутна біпіраміда) 6 12 8 6 × 34 Oh, [4,3]
Правильний ікосаедр 12 30 20 12 × 35 Ih, [5,3]
Дельтаедри Джонсона
Трикутна біпіраміда 5 9 6 2 × 33
3 × 34		 D3h, [3,2]
П'ятикутна біпіраміда 7 15 10 5 × 34
2 × 35		 D5h, [5,2]
Плосконосий двоклиноїд 8 18 12 4 × 34
4 × 35		 D2d, [2,2]
Тричі нарощена трикутна призма 9 21 14 3 × 34
6 × 35		 D3h, [3,2]
Скручено-подовжена чотирикутна біпіраміда 10 24 16 2 × 34
8 × 35		 D4d, [4,2]

Нестрого опуклі випадки

Існує нескінченно багато дельтаедрів з копланарними (належними одній площині) трикутниками. Якщо множини копланарних трикутників вважати однією гранню, можна нарахувати менше граней, ребер і вершин. Копланарні трикутні грані можуть бути злиті в ромбічні, трапецієподібні, шестикутні або інші рівносторонні багатокутні грані. Кожна грань має бути опуклим поліамондом, таким як , , , , , , і , …[4]

Деякі невеликі приклади

оКопланарные дельтаэдры
Малюнок Назва Граней Ребер Вершин Конфігурації вершин Група симетрії
Нарощений октаедр
Нарощення
1 тетр. + 1 окт.		 10 15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36		 C3v, [3]
4
3 		12
Трикутний трапецоедр
Нарощення
2 тетр. + 1 окт.		 12 18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36		 C3v, [3]
6 12
Нарощення
2 тетр. + 1 окт.		 12 18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36		 C2v, [2]
2
2
2 		11 7
Трикутна зрізана піраміда
Нарощення
3 тетр. + 1 окт.		 14 21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36		 C3v, [3]
1
3
1 		9 6
Подовжений октаедр
Нарощення
2 тетр. + 2 окт.		 16 24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36		 D2h, [2,2]
4
4 		12 6
Тетраедр
Нарощення
4 тетр. + 1 окт.		 16 24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36		 Td, [3,3]
4 6 4
Нарощення
3 тетр. + 2 окт.		 18 27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36		 D2h, [2,2]
2
1
2
2 		14 9
Ікосаедр зі стягнутим ребром 18 27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36		 C2v, [2]
12
2 		22 10
Двозрізана біпіраміда
Нарощення
6 тетр. + 2 окт.		 20 30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36		 D3h, [3,2]
2
6 		15 9
Трискатний купол
Нарощення
4 тетр. + 3 окт.		 22 33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36		 C3v, [3]
3
3
1
1 		15 9
Трикутна біпіраміда
Нарощення
8 тетр. + 2 окт.		 24 36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36		 D3h, [3]
6 9 5
Шестикутна антипризма 24 36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36		 D6d, [12,2+]
12
2 		24 12
Зрізаний тетраедр
Нарощення
6 тетр. + 4 окт.		 28 42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36		 Td, [3,3]
4
4 		18 12
ТетракіскубоктаедрОктаедр
Нарощення
8 тетр. + 6 окт.		 32 24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36		 Oh, [4,3]
8 12 6

Неопуклі дельтаедри

Неопуклих і тороїдальних дельтаедрів існує нескінченно багато.

Приклад дельтаедра з самоперетинами граней:

Інші неопуклі дельтаедри можна отримати шляхом додавання пірамід до граней всіх 5 правильних багатогранників:

Триакістетраедр Тетракісгексаедр Триакісоктаедр
(stella octangula)		 Пентакісдодекаедр Триакісікосаедр
12 трикутників 24 трикутників 60 трикутників

Інші нарощення тетраедрів:

Приклади: Нарощені тетраедри
8 трикутників 10 трикутників 12 трикутників

Також шляхом додавання до граней перекинутих пірамід:


Виїмчастий додекаедр
Тороїдальний дельтаедр
60 трикутників 48 трикутників

Примітки
  1. Freudenthal, van der Waerden, 1947, с. 115–128.
  2. Выпуклые дельтаэдры
  3. Trigg, 1978, с. 55–57.
  4. The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces

Література
  • Freudenthal H., van der Waerden B. L. Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid") // Simon Stevin. — 1947. — Т. 25 (23 липня). — С. 115–128. (Автори показали, що існує тільки 8 опуклих дельтаедрів.)
  • Charles W. Trigg. An Infinite Class of Deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — Т. 51, вип. 1 (23 липня). — С. 55–57.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.