Згинаний многогранник

Многогранник (точніше — многогранна поверхня) називається зги́наною, якщо її просторову форму можна змінити такою безперервною в часі деформацією, за якої кожна грань не змінює своїх розмірів (тобто рухається як тверде тіло), а деформація здійснюється тільки за рахунок безперервної зміни двогранних кутів. Така деформація називається безперервним згинанням многогранника.

Властивості та приклади

У теорії зги́наних многогранників відомо чимало красивих і нетривіальних тверджень. Нижче наведено найважливіші зі встановлених на сьогодні фактів, дотримуючись хронологічного порядку:

1. Ніякий опуклий многогранник не може згинатись. Це негайно випливає з теореми Коші про однозначну визначеність опуклого многогранника, доведену в 1813 році.
2. Перші приклади згинаних многогранників були побудовані бельгійським інженером і математиком Раулем Брікаром в 1897 році[1]. Зараз їх називають октаедрами Брікара. Вони не тільки неопуклі, але й мають самоперетини, що не дозволяє побудувати їх картонну модель, що рухається.
3. У 1976 році американський математик Роберт Коннеллі вперше побудував згинаний многогранник без самоперетинів[2].
4. З усіх відомих на сьогоднішній день згинаних многогранників без самоперетинів найменше число вершин (дев'ять) має многогранник, побудований німецьким математиком Клаусом Штеффеном (нім. Klaus Steffen) [3].
5. Відомі приклади згинаних многогранників, які є реалізаціями тора[4] або пляшки Клейна, або взагалі двовимірної поверхні будь-якого топологічного роду.
6. З формули Шлефлі випливає, що будь згинаний многогранник в процесі згинання зберігає так звану інтегральну середню кривину, тобто число, рівне ${\displaystyle \sum |\ell |(\pi -\alpha (\ell ))}$, де ${\displaystyle |\ell |}$ — довжина ребра ${\displaystyle ~\ell }$, ${\displaystyle ~\alpha (\ell )}$ — величина внутрішнього двогранного кута при ребрі ${\displaystyle ~\ell }$, а сума поширюється на всі ребра многогранника. Див також[5].
7. Теорема Сабітова[6]: Будь-який згинаний многогранник в процесі згинання зберігає свій об'єм, тобто він буде згинатися навіть якщо його заповнити нестисливої ​​рідиною.

• 
  октаедр Брікара, що згинається, першого типу
• 
  октаедр Брікара, що згинається, другого типу
• 
  Згинаний многогранник Штеффена
• 
  Розгортка згинаного многогранника Штеффена

Гіпотези

Незважаючи на значний прогрес, в теорії згинаних многогранників залишається багато невирішених проблем. Ось кілька відкритих гіпотез:

1. многогранник Штеффена має найменше число вершин серед усіх згинаних многогранників, що не мають самоперетинів[7];
2. Якщо один многогранник, який не має самоперетинів, отриманий з іншого многогранника, який також не має самоперетинів, безперервним згинанням, то ці многогранники рівноскладені, тобто перший можна розбити на скінченне число тетраедрів, кожен з цих тетраедрів незалежно від інших можна пересунути в просторі і отримати розбиття другого многогранника[8].

Узагальнення

Все сказане вище відносилося до многогранників в тривимірному евклідовому просторі. Однак дане вище визначення згинаного многогранника можна застосувати і до багатовимірних просторів і до неевклідових просторів, таких як сферичний простір і простір Лобачевського. Для них також відомі як нетривіальні теореми, так і відкриті запитання. Наприклад:

1. Доведено, що в чотиривимірному евклідовому просторі, просторі Лобачевського розмірності 3 та 4, а також в сферичному просторі розмірності 3 та 4 є згинані многогранники[9], в той час як існування згинаних многогранників в евклідових просторах розмірності 5 і вище залишається відкритим питанням ;
2. Доведено, що будь-який згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 3 і вище зберігає свою інтегральну середню кривину в процесі згинання[5], але невідомо чи всякий згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 4 і вище зберігає свій об'єм в процесі згинання;
3. Доведено, що в тривимірному сферичному просторі існує згинаний многогранник, обсяг якого непостійний у процесі згинання[10], але не відомо чи обов'язково зберігається обсяг згинаного многогранника в тривимірному просторі Лобачевського.

Зроби сам

Зробити модель згинаного многогранника Штеффена зовсім не важко. Опишемо це процес крок за кроком.

• Збережіть файл з розгорткою многогранника Штеффена з наведеної вище «галереї зображень».
• Збільшите розгортку в 2-3 рази і роздрукуйте його на принтері (при цьому бажано використовувати щільний папір або напівкартон).
• Виріжте розгортку по контуру, що складається з червоних, синіх і чорних (суцільних і пунктирних) відрізків.
• Кілька разів перегніть папір по суцільним і пунктирним відрізкам, що залишилися на розгортці. Виконуючи наступні дії слід надавати поверхні таку форму, щоб суцільні відрізки були «гірськими хребтами» (тобто виступали з многогранника назовні), а пунктирні відрізки були «долинами» (тобто вдавалися б всередину многогранника).
• Зігніть поверхню в просторі і склейте між собою кожні два чорних відрізка, з'єднаних на розгортці зеленої дугою кола.
• Склейте між собою два синіх відрізка.
• Склейте між собою два червоних відрізка.

Модель многогранника Штеффена готова.

Популярна література

• В. А. Александров, Изгибаемые многогранные поверхности, Соросовский образовательный журнал. 1997. No. 5. С. 112–117. Ця ж стаття перевидана в книзі під редакцією В. Н. Сойфера и Ю. П. Соловьёва: Современное естествознание. Энциклопедия. Т. 3: Математика и механика М.: Наука, М.: Флинта, 2000. ISBN 5-02-004299-4.
• М. Берже, Геометрія. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516–517.
• В. А. Залгаллер, Непрерывно изгибаемый многогранник, Квант. 1978. No. 9. С. 13—19.
• А. И. Медяник, Модель многогранника Коннелли, Квант. 1979. No. 7. С. 39.
• И.Х. Сабитов,. Объёмы многогранников. — М.:МЦНМО, 2002.
• Девид А. Кларнер. Математичний квітник. Збірник статей і задач = The Mathematical Gardner / Пер. с англ. Ю. А. Данилова; под ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М : Мир, 1983. — С. 105—117.

Наукова література

• В. А. Александров, Новый пример изгибаемого многогранника, Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, No 6. С. 1215–1224.
• Н. Х. Кьойпер, Згинні поліедральні сфери в ${\displaystyle ~E^{3}}$, по Роберту Коннеллі, в кн. під ред. А. М. Колмогорова і С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. С. 210–227.
• P. Коннеллі, Про один підхід до проблеми незгинності. Там же. С. 164–209.
• Р. Коннеллі, Деякі припущення і невирішені питання в теорії згинань. Там же. С. 228–238.
• И. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин, Фундам. прикл. матем. 2006. Т. 12, No. 1. С. 143–165.
• С. Н. Михалёв, Некоторые необходимые метрические условия изгибаемости подвесок, Вестник МГУ, Сер. I, 2001, No. 3, 15—21.
• И. Х. Сабитов, Объём многогранника как функция его метрики, Фундам. прикл. матем. 1996. Т. 2, No. 4. С. 1235–1246.
• И. Х. Сабитов, Обобщённая формула Герона — Тарталья и некоторые её следствия, Матем. сб. 1998. Т. 189, No. 10. С. 105–134.

Примітки

1. R. Bricard. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé Архівовано 17 липня 2011 у Wayback Machine.. J. Math. Pures Appl. 1897. 3. P. 113–150 (див. також англійський переклад).
2. R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 52 (1979), no. 5, 275–283.
3. М. Берже, Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516–517.
4. В. А. Александров, Новий приклад згинаного многогранника, Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, No 6. С. 1215–1224.
5. R. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 288, no. 2, 661–678.
6. І. Х. Сабітов, Обсяг многогранника як функція довжин його ребер, Фундам. прикл. матем. 1996. Т. 2, № 1. С. 305–307.
7. И. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин, Фундам. прикл. матем. 2006. Т. 12, No. 1. С. 143–165.
8. Див. с. 231 книги под ред. А. Н. Колмогорова і С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. На англійський мові ця гіпотеза була уперше опублікована у статті R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 1979. Vol. 52. P. 275–283.
9. H. Stachel, Flexible octahedra in the hyperbolic space, у книзі под ред. A. Prékopa: Non-Euclidean geometries. János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6—12, 2002. New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581, 209–225 (2006).
10. V. Alexandrov, An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space, Beitr. Algebra Geom. 38, No.1, 11—18 (1997). ISSN 0138-4821.