Нейтральний елемент

Нейтра́льний елеме́нт бінарної операції — елемент, який приймаючи участь в бінарній операції, залишає незмінним інший елемент.

Якщо ${\displaystyle (S,*)}$ — множина ${\displaystyle S}$ з визначеною на ній бінарною операцією «*». Елемент ${\displaystyle e\in S}$ називається нейтральним відносно цієї операції, якщо

${\displaystyle x*e=e*x=x,\quad \forall x\in S}$.

Для некомутативних операцій, визначають

• лівий нейтральний елемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для якого

${\displaystyle e_{\mathrm {l} }*x=x,\quad \forall x\in S}$,

• правий нейтральний елемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для якого

${\displaystyle x*e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in S}$.

В загальному випадку може існувати довільна кількість елементів, нейтральних зліва чи справа. Якщо одночасно існують лівий та правий нейтральні елементи, то вони співпадають, оскільки:

${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$.

Приклади

Якщо бінарна операція називається додаванням чи відніманням, то нейтральний елемент називають: нулем, нульовим елементом чи 0.

Якщо бінарна операція називається множенням чи діленням, то нейтральний елемент називають: одиницею, одиничним елементом чи 1.

Об'єкти	Бінарна операція	Нейтральний елемент
Числа	${\displaystyle +}$ (додавання)	0
Числа	${\displaystyle \cdot }$ (множення)	1
Вектори	${\displaystyle +}$ (додавання векторів)	${\displaystyle {\vec {0}}}$ нульовий вектор
Матриці	${\displaystyle +}$ (додавання матриць)	нульова матриця
Матриці	${\displaystyle \times }$ (множення матриць)	одинична матриця
Функції	${\displaystyle \circ }$ (композиція функцій)	тотожне відображення
Множини	${\displaystyle \cap }$ (перетин множин)	універсальна множина
Множини	${\displaystyle \cup }$ (об'єднання множин)	${\displaystyle \varnothing }$ (порожня множина)
Логічні змінні	${\displaystyle \wedge }$ (кон'юнкція)	${\displaystyle \top }$ (true)
Логічні змінні	${\displaystyle \lor }$ (диз'юнкція)	${\displaystyle \bot }$ (false)

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)