Поліноміальний розподіл

У теорії імовірностей поліноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу. Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей числа успіхів у незалежній схемі випробувань Бернуллі, з тією ж самою імовірністю успіху в кожному випробуванні.

Поліноміальний розподіл
Параметри	${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots p_{k}}$ (${\displaystyle \Sigma p_{i}=1}$)
Носій функції	${\displaystyle X_{i}\in \{0,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}=n\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}$
Середнє	${\displaystyle E\{X_{i}\}=np_{i}}$
Дисперсія	${\displaystyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}}$ (${\displaystyle i\neq j}$)
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}}$

Означення

Нехай ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що їх розподіл задається функцією імовірності:

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}$.

Інтуїтивно подія ${\displaystyle \{X_{i}=j\}}$ означає, що дослід з номером ${\displaystyle i}$ привів до ${\displaystyle j}$. Нехай випадкова величина ${\displaystyle Y_{j}}$ дорівнює кількості дослідів, що приводять до результату ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k}$.

Тоді розподіл вектора ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }}$ Має функцію імовірності

${\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$,

де

${\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}}$ —

мультиноміальний коефіцієнт.

Вектор середніх і матриця коваріації

Математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle Y_{j}}$ має вигляд: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}}$. Діагональні елементи матриці коваріації ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}$ є дисперсіями біноміальних випадкових величин, а тому

${\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}$.

Для інших елементів маємо

${\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}$.

Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює ${\displaystyle k-1}$.

Див. також

• Біноміальний розподіл
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Функція розподілу ймовірностей