Представлення чисел зі знаком

У інформатиці використовують різні способи представлення чисел зі знаком у двійковій системі числення.

У математиці, від'ємні числа в системі числення з будь-якою основою позначаються за допомогою знака мінус («-») перед ними. Проте, в комп'ютерній техніці, числа представляються лише у вигляді послідовності бітів, без додаткових символів. Існує чотири найвідоміших методи розширення двійкової системи числення для представлення чисел зі знаком:

• прямий код,
• обернений код,
• доповняльний код,
• двійковий зсув.

Деякі альтернативні методи замість явного використання знаку, використовують його неявно, наприклад, можна використовувати систему числення з основою −2. Відповідні способи представлення чисел можуть бути розроблені для будь-яких інших основ, чи додатних, від'ємних, дробових, чи інших розробок на цю тему.

Не існує критеріїв, щоб з'ясувати який метод найкращий. У більшості сучасних обчислювальних пристроїв використовується доповняльний код, існують і такі, які використовують обернений код.

Прямий код

Цей метод ще називають «знак та величина» (англ. sign and magnitude), а про числа записані в такому вигляді кажуть «знакова величина». В першому наближені, задача представлення знака числа зводиться до виділення додаткового знакового біту, який відповідає знаку числа: значення цього біту (зазвичай це старший біт) дорівнює 0 для додатного числа і 1 для від'ємного. Решта бітів числа позначають величину числа (або абсолютне значення). Тому в байті лише 7 біт (знаковий біт відокремлено) буде використано для позначення величини, яка змінюється від 0000000 (0) до 1111111 (127). Таким чином, можна представляти числа від −127₁₀ до +127₁₀ якщо додавати знаковий (восьмий) біт. Як наслідок, існує два способи представлення нуля, а саме 00000000 (0) та 10000000 (−0). Для прикладу, −43₁₀ у 8-бітномі кодуванні буде 10101011.

Цей підхід цілком відповідає загальному способу вказувати знак (розміщувати знак «+» або «−» перед величиною цього числа). Деякі ранні бінарні комп'ютери (наприклад, IBM 7090) використовували таке представлення, скоріш за все, у відповідності до загальноприйнятого способу. Прямий код є найбільш поширеним способом представлення чисел з рухомою комою.

Порівняльна таблиця

У наступній таблиці показані додатні та від'ємні цілі числа, які можуть бути представлені за допомогою 4 біт.

представлення 4-х бітних цілих

Десяткове	Беззнакове	Прямий код	Обернений код	Доповняльний код	Двійковий зсув	Основа −2
+16	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+15	1111	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+14	1110	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+13	1101	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+12	1100	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+11	1011	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+10	1010	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+9	1001	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+8	1000	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д
+7	0111	0111	0111	0111	1111	Н/Д
+6	0110	0110	0110	0110	1110	Н/Д
+5	0101	0101	0101	0101	1101	0101
+4	0100	0100	0100	0100	1100	0100
+3	0011	0011	0011	0011	1011	0111
+2	0010	0010	0010	0010	1010	0110
+1	0001	0001	0001	0001	1001	0001
+0	0000	0000	0000	0000	1000	0000
−0		1000	1111
−1	Н/Д	1001	1110	1111	0111	0011
−2	Н/Д	1010	1101	1110	0110	0010
−3	Н/Д	1011	1100	1101	0101	1101
−4	Н/Д	1100	1011	1100	0100	1100
−5	Н/Д	1101	1010	1011	0011	1111
−6	Н/Д	1110	1001	1010	0010	1110
−7	Н/Д	1111	1000	1001	0001	1001
−8	Н/Д	Н/Д	Н/Д	1000	0000	1000
−9	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	1011
−10	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	1010
−11	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д	Н/Д

Зворотня таблиця, в якій послідовності з 4-х бітів ставиться у відповідність числа, в залежності від способу представлення:

Бінарне	Беззнакове	Прямий код	Обернений код	Доповняльний код	Двійковий зсув	Основа −2
0000	0	0	0	0	−8	0
0001	1	1	1	1	−7	1
0010	2	2	2	2	−6	−2
0011	3	3	3	3	−5	−1
0100	4	4	4	4	−4	4
0101	5	5	5	5	−3	5
0110	6	6	6	6	−2	2
0111	7	7	7	7	−1	3
1000	8	−0	−7	−8	0	−8
1001	9	−1	−6	−7	1	−7
1010	10	−2	−5	−6	2	−10
1011	11	−3	−4	−5	3	−9
1100	12	−4	−3	−4	4	−4
1101	13	−5	−2	−3	5	−3
1110	14	−6	−1	−2	6	−6
1111	15	−7	−0	−1	7	−5

Джерела

• Ivan Flores, The Logic of Computer Arithmetic, Prentice-Hall (1963)
• Israel Koren, Computer Arithmetic Algorithms, A.K. Peters (2002), ISBN 1-56881-160-8