Розподіл Бернуллі

Розподіл Бернуллі — розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини названий на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі[1], яка приймає значення ${\displaystyle 1}$ з ймовірністю ${\displaystyle p}$ та значення ${\displaystyle 0}$ з ймовірністю ${\displaystyle q=1-p,}$, тобто, вона є ймовірнісним розподілом будь-якого одиничного експерименту, який ставить так-ні питання.

Бернуллі
Параметри	${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Носій функції	${\displaystyle k=\{0,1\}\,}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\begin{matrix}q=(1-p)&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}}$
Середнє	${\displaystyle p\,}$
Медіана	N/A
Мода	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}}$
Дисперсія	${\displaystyle pq\,}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
Ентропія	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle q+pe^{t}\,}$
Характеристична функція	${\displaystyle q+pe^{it}\,}$
Генератриса (pgf)	${\displaystyle q+pz}$

Визначення

Дискретна випадкова величина ${\displaystyle \xi }$ називається такою, що має розподіл Бернуллі, якщо її закон розподілу має вигляд: ${\displaystyle \xi ={\begin{pmatrix}0&1\\q&p\end{pmatrix}}}$, де ${\displaystyle p}$ — параметр, що визначає розподіл, ${\displaystyle p\in [0,1],q=1-p}$.

Позначається ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi )=B(p)}$.

Функція розподілу має вигляд:

${\displaystyle F_{\xi }(x)={\begin{cases}0,&x<0\\q,&x\in [0,1)\\1,&x\geq 1\end{cases}}}$.

Числові характеристики

Математичне сподівання:

${\displaystyle M\xi =P(X=1)\cdot 1+P(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p}$.

Дисперсія:

${\displaystyle D\xi =M\xi ^{2}-(M\xi )^{2}=p-p^{2}=pq\,}$.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай незалежні випадкові величини ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}}$ мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi _{i})=B(p),i={\overline {1,n}}}$, тоді випадкова величина ${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}}$ має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi )=Bi(n,p)}$.

Див. також

• Біноміальний розподіл
• Бернуллі Якоб
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Схема Бернуллі
• Функція розподілу ймовірностей

1. James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937, page 45