Розподіл Коші

Крива Лоренца — функція однієї змінної ${\displaystyle x}$ з двома параметрами ${\displaystyle x_{0}}$ і ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\gamma }{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}}$.

Розподіл Коші-Лоренца
Щільність розподілу Зелена лінія — стандартний розподіл Коші
Функція розподілу ймовірностей Кольори як і на попередньому малюнку
Параметри	${\displaystyle x_{0}\!}$ параметр знаходження (дійсне) ${\displaystyle \gamma >0\!}$ масштаб (дісне)
Носій функції	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )\!}
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$
Середнє	не визначено
Медіана	${\displaystyle x_{0}}$
Мода	${\displaystyle x_{0}}$
Дисперсія	не визначено
Коефіцієнт асиметрії	не визначено
Коефіцієнт ексцесу	не визначено
Ентропія	${\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )\!}$
Твірна функція моментів (mgf)	не визначено
Характеристична функція	${\displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$

Графіки функції при різних значеннях параметрів показані на рисунку праворуч. Оскільки крива зустрічається в багатьох областях науки вона має багато різних назв: лоренціан, функція Лоренца, розподіл Коші, розподіл Коші-Лоренца, розподіл Брейта-Вігнера.

Використовується для опису форми лінії в спектроскопії, часто зустрічається в фізиці, зокрема у квантовій механіці.

Властивості

• Функція має максимум при ${\displaystyle x=x_{0}}$. При ${\displaystyle \gamma \rightarrow 0}$ висота цього максимуму зростає до нескінченності, а ширина зменшується до нуля. Тому криву Лоренца часто використовують як наближення до дельта-функції.

${\displaystyle \lim _{\gamma \rightarrow 0}f(x)=\delta (x-x_{0})}$.

• Розподіл Коші є безмежно подільним.
• Розподіл Коші є стійким.

Інтеграли

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi }}{\frac {\gamma dx}{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}=1}$

Див. також

• Розподіл Лоренца