Розподіл Рейлі

Розподіл Рейлі або розподіл Релея — це розподіл імовірностей випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle X}$ із щільністю

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,}$

Розподіл Релея
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle \sigma >0\,}$
Носій функції	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle 1-e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}$
Середнє	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
Медіана	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,}$
Мода	${\displaystyle \sigma \,}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
Ентропія	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}$
Характеристична функція	${\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$

де ${\displaystyle \displaystyle \sigma }$ — параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд

${\displaystyle {\mathsf {P}}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.}$

Введено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Релеєм) у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.

Властивості

Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:

${\displaystyle \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — Гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Релея виражається як:

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\sigma ,}$

і

${\displaystyle {\textrm {var}}(X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}\ \approx 0.429\sigma ^{2}.}$

Мода дорівнює ${\displaystyle \sigma }$, а максимум щільності

${\displaystyle f_{\text{max}}=f(\sigma$ ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}\exp {-{\frac {1}{2}}}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}}

Коефіцієнт асиметрії задається як:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631.}$

Формула для обчислення коефіцієнта ексцесу:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245.}$

Характеристична функція задається формулою:

${\displaystyle \varphi (t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$

де ${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$ — комплексна функція помилок. Формула для твірної функції моментів

${\displaystyle M(t)=\,}$

${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right),}$

де ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$ — функція помилок.

Ентропія інформації

Ентропія інформації задається як

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера — Маскероні.

Застосування

• У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$, отримаємо вираз величини промаху у формі ${\displaystyle R={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}}$. У цьому випадку величина ${\displaystyle R}$ має розподіл Релея.
• У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
• Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо ${\displaystyle {X}}$ і ${\displaystyle {Y}}$ — незалежні випадкові величини з розподілом Гауса, що мають нульові математичні сподівання і однакові дисперсії ${\displaystyle {{\sigma }^{2}}}$, то випадкова величина ${\displaystyle Z={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}}$ має розподіл Релея.
• Якщо незалежні Гаусівскі випадкові величини ${\displaystyle {X}}$ і ${\displaystyle {Y}}$ мають ненульові математичні сподівання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса.
• Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з ${\displaystyle {\sigma =1}}$ має розподіл хі-квадрат із двома ступенями свободи.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат
• Розподіл Райса