Скручений вузол

В теорії вузлів скручений вузол[1] — це вузол, отриманий шляхом перекручування замкнутої петлі з подальшим зачепленням кінців (таким чином, скручений вузол — це будь-яке подвійне зачеплення Вайтгеда тривіального вузла). Скручені вузли є нескінченним сімейством вузлів і вважаються найпростішим типом вузлів після торичних вузлів.

Скручений вузол з шістьма півобертами.

Побудова

Скручений вузол отримують шляхом зачеплення двох кінців скрученої петлі. До зачеплення можна зробити будь-яку кількість півобертів, що дає нескінченне сімейство. На малюнках показано кілька перших скручених вузлів:

• 
  Один півоберт (трилисник)
• 
  Два півоберти (вісімка)
• 
  Три півоберти (5₂)
• 
  Чотири півоберти (вузол вантажника)
• 
  П'ять півобертів (7₂)
• 
  Шість півобертів (8₁)

Властивості

Вузол вантажника на чотири півоберти утворюється шляхом (само-)зачеплення одного кінця петлі, скрученої на два оберти, з іншим кінцем петлі.

Всі скручені вузли мають число розв'язування 1, оскільки вузол можна розв'язати, роз'єднавши два кінці. Будь-який скручений вузол є також двомістковим[2]. З усіх скручених вузлів тільки тривіальний вузол і вузол вантажника є зрізаними[3]. Скручений вузол c ${\displaystyle n}$ півобертами має число перетинів ${\displaystyle n+2}$. Всі скручені вузли є оборотними, але ахіральними скрученими вузлами є тільки тривіальний вузол і вісімка.

Інваріанти

Інваріанти скручених вузлів залежать від числа ${\displaystyle n}$ півобертів. Многочлен Александера скрученого вузла задається формулою

${\displaystyle \Delta (t)=}$

${\displaystyle {\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}}$ для парних n,

${\displaystyle -{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}}$ для непарних n, а многочлен Конвея дорівнює

${\displaystyle \nabla (z)=}$

${\displaystyle {\frac {n+1}{2}}z^{2}+1}$ для парних n,

${\displaystyle 1-{\frac {n}{2}}z^{2}}$ для непарних n.

Якщо ${\displaystyle n}$ непарне, многочлен Джонса дорівнює

${\displaystyle V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},}$

при парному ж ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.}$

Примітки

1. зустрічається також назва твіст вузол
2. Rolfsen, 2003, с. 114.
3. Weisstein, Eric W. Twist Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Dale Rolfsen. Knots and links. — Providence, R. I. : AMS Chelsea Pub, 2003. — ISBN 0-8218-3436-3.