Теорема Лохса

В теорії чисел, теорема Лохса — теорема про швидкість збіжності розкладу ланцюгового дробу типового дійсного числа. Доведення теореми було опубліковано Ґуставом Лохсом в 1964 році.[1]

Теорема стверджує, що для практично всіх дійсних чисел в інтервалі (0,1) кількість членів m у розкладі ланцюгового дробу цього числа, необхідних для визначення перших n місць десяткового зображення числа асимптотично поводисться як:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {m}{n}}={\frac {6\ln(2)\ln(10)}{\pi ^{2}}}\approx 0.97027014}$ послідовність A086819 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS[2].

Оскільки ця межа лише трохи менша одиниці, що можна інтерпретувати як те, що кожен додатковий термін у розкладі ланцюгового дробу «типового» дійсного числа збільшує точність наближення приблизно на одну десяткову позицію. Десяткова система є останньою позиційною системою запису, для якої кожна цифра містить менше інформації, ніж одна частка (коефіцієнт) ланцюгового дробу; перехід до 11-вої бази (зміна ${\displaystyle \ln(10)}$ на ${\displaystyle \ln(11)}$у рівнянні) робить вищевказане значення більшим одиниці.

Три типові числа, і золотий перетин. Типові числа знаходяться на лінії приблизно 45°, оскільки кожен коефіцієнт ланцюгового дробу дає приблизно одну десяткову цифру. Золотий претин з іншого боку, — це число, яке вимагає більшої кількости коефіцієнтів для кожної цифри

Відносно цього ліміту,

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln(2)\ln(10)}}\approx 1.03064083}$ послідовність A062542 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS,

є вдвічі більшою за десятковий логарифм сталої Леві.

Яскравим прикладом числа, що не проявляє такої поведінки, є золотий перетин - іноді відоме як «найбільш ірраціональне» число — коефіцієнти ланцюгового дробу якого — всі одиниці, найменші можливі в канонічній формі. У середньому йому потрібно приблизно 2.39 коефіцієнтів ланцюгового дробу на кожну десяткову цифру[3]

Джерела

1. Lochs, Gustav (1964). Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (German) 27: 142–144. MR 0162753. doi:10.1007/BF02993063. (нім.)
2. Weisstein, Eric W. Lochs' Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
3. Cooper, Harold. Continued Fraction Streams. Процитовано 16 лютого 2019. (англ.)