Константа Леві

У математиці, стала Леві (іноді стала Хінчина-Леві) зустрічається у виразі для асимптотичної поведінки знаменників конвергентів ланцюгових дробів[1]. У 1935 р. Радянський математик Олександр Хінчин показав[2], що знаменники ${\displaystyle q_{n}}$ збіжників розкладів ланцюгових дробів майже всіх дійсних чисел задовольняють умову

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{q_{n}}^{1/n}=\gamma }$

для деякої сталої ${\displaystyle \gamma }$. Незабаром, у 1936 році, французький математик Поль Леві вивів[3] аналітичну формулу цієї константи, а саме

${\displaystyle \gamma =e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\ldots }$ послідовність A086702 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Термін "стала Леві" іноді застосовують до сталої ${\displaystyle \pi ^{2}/(12\ln 2)}$ (логаритм сталої ${\displaystyle \gamma }$), що приблизно дорівнює 1.1865691104… Значення можна вивести з асимптотичного математичного сподівання логаритму співвідношення сусідніх знаменників ланцюгового дробу використовуючи розподіл Гаусса-Хінчина. Зокрема, співвідношення є випадковою величиною з щільністю

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z(z+1)\ln(2)}}}$

при ${\displaystyle z\geq 1}$ і нулем у решті випадків. Звідси вираховуємо сталу Леві

${\displaystyle \ln(\gamma )=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln(z)}{z(z+1)\ln(2)}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(z^{-1})}{(z+1)\ln(2)}}dz={\frac {\pi ^{2}}{12\ln(2)}}}$.

Десятковий логарифм сталої Леві, що приблизно дорівнює 0,51532041..., є половиною обернення границі (n/m) теореми Лохcа.

Див. також

• Стала Хінчина

Примітки

1. A. Ya. Khinchin; Herbert Eagle (transl.) (1997). Continued fractions. Courier Dover Publications. с. 66. ISBN 978-0-486-69630-0.
2. Відсилання в книзі Довера: "Zur metrischen Kettenbruchtheorie," Compositio Matlzematica, 3, No.2, 275–285 (1936) (нім.)
3. Відсилання в книзі Довера: P. Levy, Théorie de l'addition des variables aléatoires, Paris, 1937, p. 320. (фр.)

Джерела

• Khinchin, A. Ya. Continued Fractions. Dover. ISBN 0-486-69630-8.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Lévy Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Шаблон:OEIS el