Розподіл Хі

У теорії ймовірностей та статистиці розподіл хі є неперервним розподілом ймовірностей. Це розподіл додатньої частини квадратного кореня з суми квадратів набору незалежних випадкових величин, кожна з яких має стандартний нормальний розподіл, або ж еквівалентно, розподіл евклідової відстані випадкових величин від початку координат. Таким чином, це пов'язано з розподілом хі-квадрат, описуючи розподіл додаткової частини квадратного кореня випадкової величини, що має розподіл хі-квадрат.

Хі
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle k>0\,}$ (ступені свободи)
Носій функції	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}$
Середнє	${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
Медіана	${\displaystyle \approx {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}}$
Мода	${\displaystyle {\sqrt {k-1}}\,}$ for ${\displaystyle k\geq 1}$
Дисперсія	${\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$
Ентропія	${\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}$
Твірна функція моментів (mgf)	Складна (див. текст)
Характеристична функція	Складна (див. текст)

Якщо ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ - ${\displaystyle k}$ незалежних, нормально розподіленмх випадкових величини із середнім значенням 0 та стандартним відхиленням 1, тоді статистика

${\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}$

має розподіл хі. Розподіл хі має один параметр, ${\displaystyle k}$, яка визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість ${\displaystyle Z_{i}}$).

Найвідоміші приклади - розподіл Релея (розподіл хі з двома ступенями свободи ) та розподіл Максвелла – Больцмана молекулярних швидкостей в ідеальному газі (розподіл хі з трьома ступенями свободи).

Означення

Функція щільності

Функція густини ймовірності (pdf) хі-розподілу записується

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{інакше}}.\end{cases}}}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ є гамма-функція.

Функція розподілу

Функція розподілу задається:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

де ${\displaystyle P(k,x)}$ - регуляризована гамма-функція.

Твірна функція

Твірна функція моментів задається:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

де ${\displaystyle M(a,b,z)}$ є зливною гіпергеометричною функцією Куммера. Характеристична функція задається:

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)}$.

Властивості

Моменти

Початкові моменти задаються:

${\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}dx=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ є гамма-функція. Одже, перші кілька моментів:

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\,}$

де найправіші вирази виводяться за допомогою рекуренткого відношення гамма-функції:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$

З цих виразів ми можна вивести наступні співвідношення:

Середнє: ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

Дисперсія: ${\displaystyle V=k-\mu ^{2}\,}$

Асиметрія: ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$

Компенсований ексцес: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$

Ентропія

Ентропія задається рівнянням:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

де ${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$ - функція полігамми .

Наближення для великих n

Виведемо формули наближень середнього та дисперсії розподілу хі для великих n = k + 1. Вони мають практичне застосування, наприклад, для пошуку розподілу середньоквадратичного відхилення вибірки нормально розподіленої сукупності, де n - обсяг вибірки.

Тоді середнє значення:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}$

Застосувавши формулу дублювання Лежандра можемо подати:

${\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}$ ,

тож:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}$

Використовуючи наближення Стірлінга для гамма-функції, отримаємо наступний запис середнього:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}$

${\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

Отже, дисперсія задається:

${\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}$

Пов’язані розподіли

• Якщо ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ тоді ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$ (розподіл хі-квадрат)
• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}\xrightarrow {d} \ N(0,1)\,}$ (Нормальний розподіл)
• Якщо ${\displaystyle X\sim N(0,1)\,}$ тоді ${\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}$
• Якщо ${\displaystyle X\sim \chi _{1}\,}$ тоді ${\displaystyle \sigma X\sim HN(\sigma )\,}$ (напівнормальний розподіл) для будь-якого ${\displaystyle \sigma >0\,}$
• ${\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}$ (Розподіл Релея)
• ${\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}$ (Розподіл Максвелла)
• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}}$ (2-норма ${\displaystyle k}$ стандартним нормально розподіленим змінним є розподіл хі з ${\displaystyle k}$ ступені свободи)
• розподіл хі - це окремий випадок узагальненого гамма розподілу або розподілу Накагамі або нецентрального розподілу чі
• Середнє значення розподілу хі (масштабоване квадратним коренем з ${\displaystyle n-1}$) дає корегувальний коефіцієнт для незміщеної оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу.

Різні хі та хі-квадрат розподіли

Name	Statistic
Розподіл хі-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Нецентрований хі-квадрат розподіл	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Розподіл хі	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
Нецентрований хі розподіл	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Див. також

• Розподіл Накаґамі

Список літератури

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.

Зовнішні посилання

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html